Pojem verjetnosti dogodka se nanaša na temeljne koncepte teorije verjetnosti. Verjetnost je kvantitativna mera možnosti nastopa naključnega dogodka A. Označujemo jo s P(A) in ima naslednje lastnosti.

Verjetnost je pozitivno število v razponu od nič do ena:

Verjetnost nemogočega dogodka je enaka nič

Verjetnost zanesljivega dogodka je enaka ena

Klasična definicija verjetnosti. Naj bo = (1, 2,…, n) prostor elementarnih dogodkov, ki opisujejo vse možne elementarne izide in tvorijo popolno skupino nekompatibilnih in enako možnih dogodkov. Naj dogodek A ustreza podmnožici m osnovnih izidov

ti izidi se imenujejo ugodni za dogodek A. V klasični definiciji verjetnosti velja, da je verjetnost katerega koli osnovnega izida

in verjetnost dogodka A, ki mu daje prednost m izidov, je enaka

Od tod definicija:

Verjetnost dogodka A je razmerje med številom izidov, ki so ugodni za ta dogodek, in skupnim številom vseh enako možnih nekompatibilnih osnovnih izidov, ki tvorijo celotno skupino. Verjetnost je podana s formulo

kjer je m število osnovnih izidov, ki so ugodni za dogodek A, in je število vseh možnih osnovnih izidov testa.

Klasična definicija verjetnosti omogoča v nekaterih problemih analitično izračunavanje verjetnosti dogodka.

Naj se izvede poskus, zaradi katerega se lahko zgodijo določeni dogodki. Če ti dogodki tvorijo popolno skupino po parih nezdružljivih in enako možnih dogodkov, se reče, da ima izkušnja simetrijo možnih izidov in je reducirana na »shemo primerov«. Za eksperimente, ki so reducirani na shemo primera, je uporabna klasična verjetnostna formula.

Primer 1.13. Loterija izžreba 1000 srečk, od tega 5 dobitnih. Določite verjetnost, da boste ob nakupu ene srečke prejeli dobitek

Osnovni dogodek te izkušnje je nakup vstopnice. Vsaka srečka je unikatna, saj ima svojo številko, kupljene srečke pa ne vračamo. Dogodek A pomeni nakup zmagovalnega listka. Pri nakupu ene od 1000 vstopnic bodo vsi možni izidi te izkušnje = 1000, izidi tvorijo celotno skupino nekompatibilnih dogodkov. Število izidov, ki so ugodni za dogodek A, bo enako =5. Potem je verjetnost dobitka z nakupom ene vstopnice enaka

P(A) = = 0,005

Za neposredno izračunavanje verjetnosti je priročno uporabiti kombinatorične formule. Pokažimo to s primerom problema nadzora vzorčenja.

Primer 1.14 Naj obstaja serija izdelkov, od katerih so nekateri okvarjeni. Del izdelkov je izbran za kontrolo. Kakšna je verjetnost, da bodo med izbranimi izdelki ravno tisti z napako?

Osnovni dogodek v tem poskusu je izbira elementarne podmnožice iz prvotne elementarne množice. Izbor katerega koli dela izdelkov iz serije izdelkov lahko štejemo za enako možne dogodke, zato je ta izkušnja zmanjšana na shemo primerov. Za izračun verjetnosti dogodka A = (med izdelki z napako, če so bili izbrani iz serije izdelkov z napako), lahko uporabite klasično formulo verjetnosti. Število vseh možnih izidov poskusa je število načinov, na katere je mogoče izbrati izdelke iz serije, enako je številu kombinacij elementov z: . Dogodek, ki je ugoden za dogodek A, je sestavljen iz produkta dveh elementarnih dogodkov: (izmed izdelkov z napako so izbrani _ (iz _ standardnih izdelkov _). Število takih dogodkov bo v skladu s pravilom množenja kombinatorike

Nato želena verjetnost

Naj bo na primer =100, =10, =10, =1. Takrat je verjetnost, da bo med izbranimi 10 izdelki točno en izdelek z napako, enaka

Statistična definicija verjetnosti. Za uporabo klasične definicije verjetnosti v pogojih danega eksperimenta je potrebno, da eksperiment ustreza vzorcu primerov, pri večini resničnih problemov pa je tem zahtevam praktično nemogoče izpolniti. Vendar pa je verjetnost dogodka objektivna realnost, ki obstaja ne glede na to, ali je klasična definicija uporabna ali ne. Obstaja potreba po drugi definiciji verjetnosti, ki se uporablja, kadar izkušnje ne ustrezajo vzorcu primerov.

Naj bo poskus sestavljen iz izvajanja niza testov, ki ponavljajo isti poskus, in naj se dogodek A pojavi enkrat v nizu poskusov. Relativna frekvenca dogodka W(A) je razmerje med številom poskusov, v katerih se je zgodil dogodek A, in številom vseh izvedenih poskusov

Eksperimentalno je bilo dokazano, da ima frekvenca lastnost stabilnosti: če je število poskusov v seriji dovolj veliko, potem se relativne frekvence dogodka A v različnih serijah istega eksperimenta malo razlikujejo med seboj.

Statistična verjetnost dogodka je število, h kateremu težijo relativne frekvence, če število poskusov neomejeno narašča.

Za razliko od apriorne (izračunane pred poskusom) klasične verjetnosti je statistična verjetnost a posteriorna (dobljena po poskusu).

Primer 1.15 Meteorološka opazovanja v 10 letih na določenem območju so pokazala, da je bilo število deževnih dni v juliju v različnih letih: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Določite verjetnost, da bo kateri koli dan v juliju deževen

Dogodek A je, da bo deževalo na določen dan v juliju, na primer 10. julija. Navedena statistika ne vsebuje podatka o tem, kateri dnevi v juliju je deževalo, zato lahko domnevamo, da so vsi dnevi enako možni za ta dogodek. Naj bo eno leto ena serija testov 31 enih dni. Skupaj je serij 10. Relativne frekvence serij so:

Frekvence so različne, vendar je opaziti, da se združujejo okoli števila 0,1. To število lahko vzamemo kot verjetnost dogodka A. Če vzamemo vse dni v juliju za deset let kot en niz testov, potem bo statistična verjetnost dogodka A enaka

Geometrijska definicija verjetnosti. Ta definicija verjetnosti posplošuje klasično definicijo na primer, ko prostor elementarnih rezultatov vključuje nešteto množico elementarnih dogodkov in je pojav vsakega od dogodkov enako možen. Geometrijska verjetnost dogodka A je razmerje med merami (A) regije, ugodne za pojav dogodka, in mer () celotne regije

Če ploščine predstavljajo a) dolžine segmentov, b) ploščine likov, c) prostornine prostorskih likov, potem sta geometrijski verjetnosti enaki.

Primer 1.16. Oglasi so izobešeni v razmaku 10 metrov vzdolž nakupovalne vrste. Nekatere stranke imajo širino gledanja 3 metre. Kolikšna je verjetnost, da ne bo opazil oglasa, če se premika pravokotno na nakupovalno vrsto in jo lahko kadar koli prečka?

Odsek nakupovalne vrstice, ki se nahaja med dvema oglasoma, lahko predstavimo kot ravni segment AB (slika 1.6). Potem, da bi kupec opazil oglase, mora iti skozi ravne segmente AC ali DV, enake 3 m. Če prečka nakupovalno vrsto na eni od točk segmenta SD, katerega dolžina je 4 m, potem ne bo opazil oglasa. Verjetnost tega dogodka bo

Klasična in statistična definicija verjetnosti. Geometrijska verjetnost.

Glavni koncept teorije verjetnosti je koncept naključnega dogodka. Naključni dogodek je dogodek, ki se, če so izpolnjeni določeni pogoji, lahko zgodi ali pa tudi ne. Na primer, zadetek določenega predmeta ali zgrešenost pri streljanju na ta predmet iz določenega orožja je naključen dogodek.

Dogodek se imenuje zanesljiv, če se zagotovo pojavi kot rezultat preizkusa. Dogodek, ki se zaradi preizkusa ne more zgoditi, se imenuje nemogoč.

Za naključne dogodke pravimo, da so v danem poskusu nedosledni, če se dva od njih ne moreta zgoditi skupaj.

Naključni dogodki tvorijo popolno skupino, če se med vsakim poskusom lahko pojavi kateri koli od njih in se ne more pojaviti noben drug dogodek, ki ni v skladu z njimi.

Oglejmo si celotno skupino enako možnih nekompatibilnih naključnih dogodkov. Takšne dogodke bomo imenovali rezultati. Rečeno je, da izid daje prednost pojavu dogodka A, če pojav tega dogodka povzroči pojav dogodka A.

Verjetnost dogodka A je razmerje med številom m izidov, ki so ugodni za ta dogodek, in skupnim številom n vseh enako možnih nekompatibilnih elementarnih izidov, ki tvorijo popolno skupino.

Geometrijska verjetnost je eden od načinov za določitev verjetnosti; naj bo Ω omejena množica evklidskega prostora z volumnom λ(Ω) (oziroma dolžino ali površino v eno- ali dvodimenzionalni situaciji), naj bo ω točka, vzeta naključno iz Ω, naj bo verjetnost, da bo točka vzeta iz podmnožice sorazmerna z njeno prostornino λ (x), potem je geometrijska verjetnost podmnožice definirana kot razmerje prostornin: Geometrična definicija verjetnosti se pogosto uporablja v metodah Monte Carlo, na primer za približevanje vrednosti več določenih integralov.

Verjetnostni izrek seštevanja in množenja

Verjetnostni izrek seštevanja in množenja

Vsota dveh dogodkov A in B je dogodek C, sestavljen iz pojava vsaj enega od dogodkov A ali B.

Verjetnostni adicijski izrek

Verjetnost vsote dveh nezdružljivih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov:

P (A + B) = P (A) + P (B).

V primeru, ko sta dogodka A in B združena, je resničnost njune vsote izražena s formulo

P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB),

kjer je AB produkt dogodkov A in B.

Dva dogodka imenujemo odvisna, če je verjetnost enega od njiju odvisna od pojava ali nepojavitve drugega. pri odvisnih dogodkih se uvede koncept pogojne verjetnosti dogodka.

Pogojna verjetnost P(A/B) dogodka A je verjetnost dogodka A, izračunana pod pogojem, da se je dogodek B zgodil. Podobno P(B/A) označuje pogojno verjetnost dogodka B, pod pogojem, da se je dogodek A zgodil.

Produkt dveh dogodkov A in B je dogodek C, sestavljen iz skupnega pojava dogodka A in dogodka B.

Teorem o množenju verjetnosti

Verjetnost, da se zgodita dva dogodka, je enaka verjetnosti enega od njiju, pomnoženi s pogojno verjetnostjo drugega ob prisotnosti prvega:

P (AB) = P (A) · P (B/A) ali P (AB) = P (B) · P (A/B).

Posledica. Verjetnost skupnega nastopa dveh neodvisnih dogodkov A in B je enaka produktu verjetnosti teh dogodkov:

P (AB) = P (A) · P (B).

Posledica. Ko se izvede n identičnih neodvisnih poskusov, pri vsakem od katerih se dogodek A pojavi z verjetnostjo p, je verjetnost, da se dogodek A pojavi vsaj enkrat, 1 - (1 - p)n

Verjetnost, da se zgodi vsaj en dogodek. Primer. Bayesova formula.

Verjetnost, da naredite vsaj eno napako na strani zvezka, je p=0,1. Zvezek ima 7 pisanih strani. Kolikšna je verjetnost P, da je v zvezku vsaj ena napaka?

Verjetnost nastopa dogodka A, sestavljenega iz dogodkov A1, A2,..., Аn, neodvisnih v agregatu, je enaka razliki med enoto in produktom verjetnosti nasprotnih dogodkov Ǡ1, Ǡ2, ... Ǡn.

P(A) = 1 - q1q2…qn

Verjetnost nasprotnega dogodka je q = 1 - p.

Zlasti, če imajo vsi dogodki enako verjetnost, enako p, potem je verjetnost pojava vsaj enega od teh dogodkov enaka:

Р(А) = 1 – qn = 1 – (1 – p)n = 1 – (1 – 0,1)7 = 0,522

Odgovor: 0,522

Bayesova formula.

Predpostavimo, da se izvaja nek eksperiment in da je mogoče izraziti n enolično možnih in nezdružljivih hipotez z verjetnostmi o pogojih za njegovo izvedbo. Naj se kot rezultat eksperimenta zgodi dogodek A ali pa tudi ne, in vemo, da če se poskus zgodi, ko je hipoteza izpolnjena, potem je vprašanje, kako bo verjetnost hipotez, če postane znano, da se je zgodil dogodek A? Z drugimi besedami, zanimajo nas vrednosti verjetnosti, ki jih imamo na podlagi razmerij (4) in (5). Toda po formuli popolne verjetnosti Zato Formulo (12) imenujemo Bayesova formula*.

6. Bernoullijeva formula. Primeri.

Bernoullijeva formula je formula v teoriji verjetnosti, ki vam omogoča, da ugotovite verjetnost pojava dogodka A med neodvisnimi poskusi. Bernoullijeva formula vam omogoča, da se znebite velikega števila izračunov - seštevanja in množenja verjetnosti - z dovolj velikim številom testov. Poimenovana po izjemnem švicarskem matematiku Jacobu Bernoulliju, ki je izpeljal formulo.

Formulacija

Izrek: Če je verjetnost p pojava dogodka A v vsakem poskusu konstantna, potem je verjetnost, da se bo dogodek A zgodil k-krat v n neodvisnih poskusih, enaka: kjer. .

Dokaz

Ker se kot rezultat neodvisnih testov, izvedenih pod enakimi pogoji, zgodi dogodek z verjetnostjo, torej nasprotni dogodek z verjetnostjo Označimo pojavnost dogodka v poskusu s številko Ker so pogoji poskusov enaki, sta ti verjetnosti enaki. Naj se dogodek zgodi enkrat kot rezultat poskusov, drugič pa se ta dogodek ne zgodi. Dogodek se lahko pojavi enkrat v poskusih v različnih kombinacijah, katerih število je enako številu kombinacij elementov po To število kombinacij najdemo po formuli: V tem primeru je verjetnost vsake kombinacije enaka produktu verjetnosti: Z uporabo izreka seštevanja verjetnosti nekompatibilnih dogodkov dobimo končno Bernoullijevo formulo:

Lokalni in integralni Laplaceov izrek. Primeri.

Lokalni in integralni Laplaceov izrek

Lokalni Laplaceov izrek. Verjetnost, da je v n neodvisnih poskusih, pri vsakem od katerih je verjetnost, da se zgodi dogodek, enaka p(0< р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)
Za določitev vrednosti φ(x) lahko uporabite posebno tabelo.

Laplaceov integralni izrek. Verjetnost, da je v n neodvisnih poskusih, pri vsakem od katerih je verjetnost, da se zgodi dogodek, enaka p(0< р < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна

P(k1;k2)=Φ(x"") - Φ(x")

Tukaj -Laplaceova funkcija Vrednosti Laplaceove funkcije najdemo s posebno tabelo.

Primer. Poiščite verjetnost, da se bo dogodek A zgodil točno 70-krat v 243 poskusih, če je verjetnost, da se bo ta dogodek zgodil v vsakem poskusu, 0,25.

rešitev. Glede na pogoj je n=243; k = 70; p = 0,25; q = 0,75. Ker je n=243 precej veliko število, uporabimo Laplaceov lokalni izrek: kjer je x = (k-np)/ √npq.

Poiščimo vrednost x Iz tabele n najdemo f(1,37) = 0,1561. Zahtevana verjetnost

P(243)(70) = 1/6,75*0,1561 =0,0231.

Numerične značilnosti diskretnih količin. Primeri

Numerične značilnosti diskretnih slučajnih spremenljivk

Zakon porazdelitve v celoti karakterizira naključno spremenljivko. Če pa ni mogoče najti distribucijskega zakona ali to ni potrebno, se lahko omejite na iskanje vrednosti, imenovanih numerične značilnosti naključne spremenljivke. Te vrednosti določajo neko povprečno vrednost, okoli katere so razvrščene vrednosti naključne spremenljivke, in stopnjo, do katere so razpršene okoli te povprečne vrednosti.

Opredelitev. Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je vsota produktov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke in njihovih verjetnosti.

Matematično pričakovanje obstaja, če vrsta na desni strani enakosti absolutno konvergira.

Z vidika verjetnosti lahko rečemo, da je matematično pričakovanje približno enako aritmetični sredini opazovanih vrednosti naključne spremenljivke.

Teoretične točke. Primeri.

Ideja te metode je izenačiti teoretične in empirične točke. Zato bomo začeli z razpravo o teh pojmih.

Pustiti -- neodvisno vzorčenje iz porazdelitve, odvisno od neznanega parametra Teoretični moment -tega reda je funkcija kjer je naključna spremenljivka s porazdelitveno funkcijo. Posebej poudarimo, da je teoretični moment funkcija neznanih parametrov, saj je porazdelitev odvisna od teh parametrov. Predpostavili bomo, da matematična pričakovanja obstajajo, vsaj za empirični trenutek th. Upoštevajte, da so empirični momenti po definiciji funkcije vzorca. obvestilo, to -- to je znana vzorčna sredina.

Če želite poiskati ocene neznanih parametrov z metodo trenutkov, morate:

eksplicitno izračunajte teoretične momente in sestavite naslednji sistem enačb za neznane spremenljivke

V tem sistemu se parametri štejejo za fiksne.

reši sistem (35) glede na spremenljivke Ker je desna stran sistema odvisna od vzorca, bo rezultat funkcija To so zahtevane ocene parametrov z uporabo metode momentov.

12. Čebiševljeva neenakost. Zakon velikih števil.

Neenakost Chebysheva, znana tudi kot neenakost Bienaime–Chebyshev, je pogosta neenakost v teoriji mer in teoriji verjetnosti. Prvi ga je pridobil Bienaime (Francoz) leta 1853, kasneje pa tudi Čebišev. Neenakost, ki se uporablja v teoriji mer, je bolj splošna; teorija verjetnosti uporablja njeno posledico.

Čebiševljeva neenakost v teoriji mere

Čebiševljeva neenakost v teoriji mere opisuje odnos med Lebesguevim integralom in mero. Analog te neenakosti v teoriji verjetnosti je Markova neenakost. Čebiševljeva neenakost se uporablja tudi za dokazovanje vpetosti prostora v šibek prostor

Formulacije

Naj bo prostor z mero. Naj tudi

Seštejemo po funkciji

Potem velja naslednja neenakost:

Na splošno:

Če je nenegativna realna merljiva funkcija nepadajoča na domeni definicije, potem V terminih prostora Naj Potem

Čebiševljeva neenakost v teoriji verjetnosti

Čebiševljeva neenakost v teoriji verjetnosti navaja, da ima naključna spremenljivka na splošno vrednosti, ki so blizu njenemu povprečju. Natančneje, daje oceno verjetnosti, da bo naključna spremenljivka dobila vrednost, ki je daleč od njene srednje vrednosti. Neenakost Čebiševa je posledica neenakosti Markova.

Formulacije

Naj bo naključna spremenljivka definirana na verjetnostnem prostoru in sta njeno matematično pričakovanje in varianca končni. Potem kjer Če , kjer je standardni odklon in , potem dobimo Zlasti naključna spremenljivka s končno varianco odstopa od povprečja za več kot standardne deviacije z verjetnostjo, manjšo od. Od povprečja odstopa za standardne deviacije z verjetnostjo, manjšo od .

Zakon velikih števil

Osnovna pojma teorije verjetnosti sta pojma naključni dogodek in naključna spremenljivka. Hkrati je nemogoče vnaprej napovedati rezultat testa, v katerem se ta ali oni dogodek ali katera koli določena vrednost naključne spremenljivke lahko pojavi ali ne, saj je izid testa odvisen od številnih naključnih razlogov, ki ne morejo upoštevati.

Ko pa se preskusi večkrat ponovijo, opazimo vzorce, značilne za množične naključne pojave. Ti vzorci imajo lastnost stabilnosti. Bistvo te lastnosti je v tem, da posebne značilnosti vsakega posameznega naključnega pojava skoraj ne vplivajo na povprečni rezultat velike množice podobnih pojavov, značilnosti naključnih dogodkov in naključnih spremenljivk, opazovanih v testih, z neomejenim povečanjem število testov, postanejo praktično nenaključni.

Naj se izvede velika serija poskusov iste vrste. Izid vsake posamezne izkušnje je naključen in negotov. Toda kljub temu povprečni rezultat celotne serije poskusov izgubi svoj naključni značaj in postane naraven.

Za prakso je zelo pomembno poznati pogoje, pod katerimi skupno delovanje številnih naključnih vzrokov vodi do rezultata, ki je skoraj neodvisen od naključja, saj omogoča predvidevanje poteka pojavov. Ti pogoji so navedeni v izrekih, ki se na splošno imenujejo zakon velikih števil.

Zakona velikih števil ne smemo razumeti kot katerega koli splošnega zakona, povezanega z velikimi števili. Zakon velikih števil je posplošeno ime za več izrekov, iz katerih izhaja, da se z neomejenim povečanjem števila poskusov povprečne vrednosti nagibajo k določenim konstantam.

Sem spadajo izreki Čebiševa in Bernoullija. Čebiševljev izrek je najsplošnejši zakon velikih števil, Bernoullijev izrek je najpreprostejši.

Dokaz izrekov, združenih z izrazom "zakon velikih števil", temelji na neenakosti Čebiševa, ki določa verjetnost odstopanja od svojega matematičnega pričakovanja:

Matematična formulacija

Določiti je treba maksimum linearne ciljne funkcije (linearna oblika) pod pogoji Včasih se ji naloži tudi določen niz omejitev v obliki enačb, ki pa se jih lahko znebite tako, da zaporedno izrazite eno spremenljivko z drugimi in jo nadomestite v vseh drugih enačbah in neenačbah (pa tudi v funkciji) . Takšen problem se v linearnem programiranju imenuje "osnovni" ali "standardni" problem.

Geometrična metoda za reševanje problemov linearnega programiranja za dve spremenljivki. Primer.

Domena rešitve za linearno neenačbo v dveh spremenljivkah je polravnina. Da bi ugotovili, katera od obeh polravnin ustreza tej neenakosti, jo je treba reducirati na obliko oz. Nato se želena polravnina v prvem primeru nahaja nad premico a0 + a1x1 + a2x2 = 0, in v drugem - pod njim. Če je a2=0, ima neenačba (8) obliko ; v tem primeru dobimo ali desno polravnino ali levo polravnino.

Domena rešitve sistema neenačb je presečišče končnega števila polravnin, ki jih opisuje vsaka posamezna neenačba. To presečišče predstavlja mnogokotno območje G. Lahko je omejeno ali neomejeno in celo prazno (če je sistem neenakosti nekonsistenten).
riž. 2

Domena rešitve G ima pomembno lastnost konveksnosti. Območje se imenuje konveksno, če je mogoče dve njegovi točki povezati z odsekom, ki v celoti pripada danemu območju. Na sl. 2 prikazuje konveksno področje G1 in nekonveksno območje G2. V območju G1 lahko dve njegovi poljubni točki A1 in B1 povežemo z odsekom, katerega vse točke pripadajo območju G1. V območju G2 lahko izberemo dve njegovi točki A2 in B2 tako, da ne pripadajo vse točke segmenta A2B2 območju G2.

Referenčna črta je črta, ki ima z regijo vsaj eno skupno točko, celotno regijo pa se nahaja na eni strani te črte. Na sl. Na sliki 2 sta prikazani dve nosilni črti l1 in l2, tj. v tem primeru premici potekata skozi oglišče mnogokotnika oziroma skozi eno od njegovih stranic.

Podobno lahko podamo geometrijsko interpretacijo sistema neenačb s tremi spremenljivkami. V tem primeru vsaka neenačba opisuje polprostor, celoten sistem pa je presečišče polprostorov, torej polieder, ki ima tudi lastnost konveksnosti. Tukaj referenčna ravnina poteka skozi oglišče, rob ali ploskev poliedrske regije.

Na podlagi predstavljenih pojmov bomo obravnavali geometrijsko metodo za reševanje problema linearnega programiranja. Naj bo podana linearna ciljna funkcija f = c0 + c1x1 + c2x2 dveh neodvisnih spremenljivk ter nek skupni sistem linearnih neenačb, ki opisuje področje rešitve G. Med izvedljivimi rešitvami je treba najti tisto, pri kateri je linearna ciljna funkcija f ima najmanjšo vrednost.

Postavimo funkcijo f enako konstantni vrednosti C: f = c0 + c1x1 + c2x2 = C. To vrednost dosežemo v točkah premice, ki zadoščajo enačbi. Ko to premico vzporedno prenašamo v pozitivni smeri normale vektorja n(c1,c2) ​​bo linearna funkcija f naraščala, pri prenosu v nasprotni smeri pa padala.

Predpostavimo, da premica, zapisana v obliki (9), pri vzporedni translaciji v pozitivni smeri vektorja n najprej naleti na območje možnih rešitev G v nekaterih svojih vozliščih, vrednost ciljne funkcije pa je enaka na C1 in ravna črta postane referenčna. Takrat bo vrednost C1 minimalna, saj bo nadaljnje premikanje črte v isto smer povzročilo povečanje vrednosti f.

Tako se optimizacija linearne ciljne funkcije na poligonu izvedljivih rešitev pojavi na točkah presečišča tega poligona z referenčnimi črtami, ki ustrezajo tej ciljni funkciji. V tem primeru je lahko presečišče v eni točki (na vrhu mnogokotnika) ali v neskončnem številu točk (na robu mnogokotnika).

Algoritem metode Simplex za reševanje splošnega problema linearnega programiranja. Tabela.

Algoritmi rešitev

Najbolj znana in v praksi pogosto uporabljena za reševanje problema splošnega linearnega programiranja (LP) je simpleksna metoda. Kljub temu, da je simpleksna metoda dokaj učinkovit algoritem, ki se je izkazal za dobre rezultate pri reševanju aplikativnih problemov LP, gre za algoritem z eksponentno kompleksnostjo. Razlog za to je kombinatornost simpleksne metode, ki pri iskanju optimalne rešitve zaporedno našteje oglišča poliedra izvedljivih rešitev.

Prvi polinomski algoritem, metodo elipsoida, je leta 1979 predlagal sovjetski matematik L. Khachiyan in tako rešil problem, ki je dolgo časa ostal nerešen. Elipsoidna metoda ima popolnoma drugačno, nekombinatorno naravo kot simpleksna metoda. Vendar se je z računskega vidika ta metoda izkazala za neobetavno. Kljub temu je samo dejstvo polinomske kompleksnosti problemov privedlo do nastanka celega razreda učinkovitih algoritmov LP - metod notranjih točk, od katerih je bil prvi algoritem N. Karmarkarja, predlagan leta 1984. Algoritmi tega tipa uporabljajo zvezno interpretacijo problema LP, ko se namesto naštevanja oglišč poliedra za rešitve problema LP izvaja iskanje po trajektorijah v prostoru problemskih spremenljivk, ki ne potekajo skozi oglišča polieder. Metoda notranjih točk, ki za razliko od metode simpleksa prečka točke iz notranjosti izvedljive regije, uporablja metode nelinearnega programiranja z log-barierami, ki sta jih v 1960-ih razvila Fiacco in McCormick.

24.Posebni primeri pri simpleks metodi: degenerirana rešitev, neskončna množica rešitev, pomanjkanje rešitve. Primeri.

Uporaba metode umetne baze za rešitev splošnega problema linearnega programiranja. Primer.

Metoda umetne podlage.

Metoda umetne baze se uporablja za iskanje sprejemljive rešitve za problem linearnega programiranja, kadar pogoj vsebuje omejitve tipa enakosti. Razmislimo o problemu:

max(F(x)=∑cixi|∑ajixi=bj, j=1,m; xi≥0).

Tako imenovane "umetne spremenljivke" Rj so vnesene v omejitve in v ciljno funkcijo, kot sledi:

∑ajix+Rj=bj, j=1,m;F(x)=∑cixi-M∑Rj

Pri vnosu umetnih spremenljivk pri metodi umetnih osnov v funkcijo cilja se jim pripiše dovolj velik koeficient M, ki ima pomen kazni za vnos umetnih spremenljivk. V primeru minimizacije se ciljni funkciji dodajajo umetne spremenljivke s koeficientom M. Uvedba umetnih spremenljivk je dopustna, če v procesu reševanja problema te zaporedoma izginejo.

Simpleksna tabela, ki je sestavljena med postopkom reševanja z metodo umetne osnove, se imenuje razširjena. Od običajnega se razlikuje po tem, da vsebuje dve vrstici za ciljno funkcijo: eno za komponento F = ∑cixi in drugo za komponento M ∑Rj.Poglejmo postopek reševanja problema na konkretnem primeru.

Primer 1. Poiščite maksimum funkcije F(x) = -x1 + 2x2 - x3 pod omejitvami:

x1≥0, x2≥0, x3≥0.

Uporabimo metodo umetne podlage. V problemske omejitve vpeljimo umetne spremenljivke

2x1 + 3x2 + x3 + R1 = 3;

x1 + 3x3 + R2 = 2;

Ciljna funkcija F(x)-M ∑Rj= -x1 + 2x2 - x3 - M(R1+R2).

Izrazimo vsoto R1 + R2 iz sistema omejitev: R1 + R2 = 5 - 3x1 - 3x2 - 4x3, potem je F(x) = -x1 + 2x2 - x3 - M(5 - 3x1 - 3x2 - 4x3) .

Pri sestavljanju prve simpleks tabele (tabela 1) bomo predpostavili, da so originalne spremenljivke x1, x2, x3 nebazične, vnesene umetne spremenljivke pa bazične. Pri problemih maksimizacije je predznak koeficientov za nebazične spremenljivke v F- in M-vrsticah obrnjen. Predznak konstantne vrednosti v M-liniji se ne spremeni. Optimizacija poteka najprej po M-liniji. Izbira vodilnih stolpcev in vrstic, vse simpleksne transformacije pri uporabi metode umetne osnove se izvajajo kot pri običajni simpleksni metodi. Največji negativni koeficient v absolutni vrednosti (-4) določa vodilni stolpec in spremenljivko x3, ki bo šla v osnovo. Najmanjše razmerje simpleksa (2/3) ustreza drugi vrstici tabele, zato je treba spremenljivko R2 izključiti iz osnove. Vodilni element je začrtan.
Pri metodi umetne baze se iz baze izločene umetne spremenljivke vanjo ne vračajo več, zato so stolpci elementov takih spremenljivk izpuščeni. Tabela 2. zmanjšano za 1 stolpec. Ko izvedemo ponovni izračun te tabele, preidemo na tabelo. 3., v katerem je bila vrstica M ponastavljena, se lahko odstrani. Po izločitvi vseh umetnih spremenljivk iz baze dobimo dopustno bazno rešitev izvornega problema, ki je v obravnavanem primeru optimalna:

x1=0; x2=7/9; Fmax=8/9.

Če pri izločitvi M-niza rešitev ni optimalna, se postopek optimizacije nadaljuje in izvede po običajni simpleksni metodi. Oglejmo si primer, v katerem obstajajo omejitve vseh vrst: ≤,=,≥

Problemi dvojnega simetričnega linearnega programiranja. Primer.

Opredelitev dvojnega problema

Vsak problem linearnega programiranja lahko na določen način povežemo z drugim problemom (linearno programiranje), ki ga imenujemo dualno ali konjugirano glede na izvirni ali neposredni problem. Definirajmo dvojni problem v povezavi s splošnim problemom linearnega programiranja, ki je, kot že vemo, sestavljen iz iskanja največje vrednosti funkcije pod pogoji

imenujemo dvojno na problem (32)–(34). Problemi (32) – (34) in (35) – (37) tvorijo par problemov, ki se v linearnem programiranju imenuje dualni par. Če primerjamo oba formulirana problema, vidimo, da je dvojni problem sestavljen po naslednjih pravilih:

1. Ciljna funkcija izvornega problema (32) – (34) je nastavljena na maksimum, ciljna funkcija dualnega problema (35) – (37) pa na minimum.

2. Matrica sestavljena iz koeficientov za neznanke v sistemu omejitev (33) izvirnega problema (32) – (34) in podobne matrike v dualnem problemu (35) – (37) dobimo drug iz drugega s transpozicijo (tj. zamenjavo vrstic s stolpci in stolpcev z vrsticami).

3. Število spremenljivk v dualnem problemu (35) – (37) je enako številu omejitev v sistemu (33) prvotnega problema (32) – (34), številu omejitev v sistemu (36) dvojnega problema je število spremenljivk v prvotnem problemu.

4. Koeficienti neznank v ciljni funkciji (35) dualnega problema (35) – (37) so prosti členi v sistemu (33) prvotnega problema (32) – (34) in desno -strani v relacijah sistema (36) dualnega problema so koeficienti za neznanke v ciljni funkciji (32) izvornega problema.

5. Če spremenljivka xj izvirnega problema (32) – (34) lahko zavzame le pozitivne vrednosti, potem je j-ti pogoj v sistemu (36) dualnega problema (35) – (37) neenakost oblike “? " Če ima lahko spremenljivka xj pozitivne in negativne vrednosti, potem je 1 – razmerje v sistemu (54) enačba. Podobne povezave potekajo med omejitvami (33) izvornega problema (32) – (34) in spremenljivkami dualnega problema (35) – (37). Če je i – relacija v sistemu (33) izvirnega problema neenakost, potem je i-ta spremenljivka dualnega problema . Sicer ima lahko spremenljivka уj tako pozitivne kot negativne vrednosti.

Dvojne pare problemov običajno delimo na simetrične in asimetrične. V simetričnem paru dualnih problemov so omejitve (33) neposrednega problema in relacije (36) dualnega problema neenakosti oblike “ “. Tako lahko spremenljivke obeh problemov zavzamejo le nenegativne vrednosti.

Razmerje med spremenljivkami neposrednega in dualnega problema. Primer.

30. Ekonomska interpretacija dvojnih problemov. Pomen ničelnih ocen pri reševanju ekonomskega problema. Primeri.

Prvotni problem I je imel specifičen ekonomski pomen: glavne spremenljivke xi so označevale količino proizvedenih proizvodov i-te vrste, dodatne spremenljivke so označevale količino presežka ustrezne vrste vira, vsaka od neenakosti je izražala porabo določene vrste surovine v primerjavi z dobavo te surovine. Ciljna funkcija je določila dobiček od prodaje vseh izdelkov. Predpostavimo zdaj, da ima podjetje možnost zunanje prodaje surovin. Kakšno najnižjo ceno je treba določiti za enoto vsake vrste surovine, pod pogojem, da dohodek od prodaje vseh njenih zalog ni manjši od dohodka od prodaje izdelkov, ki jih je mogoče proizvesti iz te surovine.

Spremenljivke y1, y2, y3 bodo označevale pogojno pričakovano ceno za vire 1, 2, 3 vrst. Potem je dohodek od prodaje vrst surovin, porabljenih za proizvodnjo ene enote proizvoda I, enak: 5y1 + 1·y3. Ker je cena izdelkov tipa I 3 enote, potem 5y1 + y3 3, ker interesi podjetja zahtevajo, da dohodek od prodaje surovin ni manjši od dohodka od prodaje izdelkov. Prav zaradi te ekonomske interpretacije ima sistem omejitev dvojne naloge obliko: In ciljna funkcija G = 400y1 + 300y2 + 100y3 izračuna pogojne skupne stroške vseh razpoložljivih surovin. Jasno je, da na podlagi prvega izreka o dvojnosti, F(x*) = G(y*), enakost pomeni, da največji dobiček od prodaje vseh končnih izdelkov sovpada z najmanjšo pogojno ceno virov. Pogojne optimalne cene уi kažejo najnižje stroške virov, pri katerih je donosno pretvoriti te vire v izdelke in proizvodnjo.

Ponovno bodimo pozorni, da so yi le pogojne, ocenjene in ne realne cene surovin. Sicer se bo bralcu morda zdelo čudno, da je na primer y1* = 0. To nikakor ne pomeni, da je realna cena prvega vira enaka nič, nič ni zastonj na tem svetu. Če je pogojna cena enaka nič, to le pomeni, da ta vir še ni popolnoma izčrpan, ga je na voljo v presežku in ga ne primanjkuje. Res, poglejmo prvo neenakost v sistemu omejitev naloge I, v kateri je izračunana poraba prvega vira: 5x1* + 0,4x2* + 2x3* + 0,5x4* = 66< 400. его избыток составляет х5 = 334 ед. при данном оптимальном плане производства. Этот ресурс имеется в избытке, и поэтому для производителя он недефицитен, его условная цена равна 0, его не надо закупать. Наоборот, ресурс 2 и 3 используются полностью, причем у3 = 4 а у2 = 1, т. е. сырье третьего вида более дефицитно, чем второго, его условная цена больше. Если производитель продукции имел бы возможность приобретать дополнительно сырье к уже имеющемуся, с целью получения максимального дохода от производства, то увеличив сырье второго вида на единицу, он бы получил дополнительно доход в у2 денежных единиц, с увеличением на единицу сырья третьего вида, значение целевой функции увеличилось бы еще на у3 единицы.

Če se proizvajalec sooči z vprašanjem, »ali je donosno proizvajati kateri koli izdelek, če so stroški na enoto proizvodnje 3, 1, 4 enote 1, 2, 3 vrst surovin oziroma dobiček od prodaja enaka 23 enot,« potem Zaradi ekonomske razlage problema na to vprašanje ni težko odgovoriti, saj so stroški in pogojne cene virov znani. Stroški so enaki 3, 1, 4, cene pa y1* = 0, y2* = 1, y3* = 4. To pomeni, da lahko izračunamo skupne pogojne stroške virov, potrebnih za proizvodnjo tega novega izdelka: 3 0 + 1 1 + 4 · 4 = 17< 23. значит продукцию производить выгодно, т. к. прибыль от реализации превышает затраты на ресурсы, в противном случае ответ бы на этот вопрос был отрицательным.

31.Uporaba optimalnega načrta in simpleks tabele za določitev intervalov občutljivosti začetnih podatkov.

32.Uporaba optimalnega načrta in simpleks tabele za analizo občutljivosti ciljne funkcije. Primer.

Prometni problem in njegove lastnosti. Primer.

Naključnost pojavljanja dogodkov je povezana z nezmožnostjo vnaprejšnje napovedi izida določenega testa. Če pa upoštevamo na primer test: ponovni met kovanca, ω 1, ω 2, ..., ω n, potem se izkaže, da je pri približno polovici rezultatov ( n / 2) odkrije se določen vzorec, ki ustreza konceptu verjetnosti.

Spodaj verjetnost dogodkov A razumemo kot določeno numerično karakteristiko možnosti, da se zgodi dogodek A. Označimo to numerično značilnost R(A). Obstaja več pristopov k določanju verjetnosti. Glavni so statistično, klasično in geometrijsko.

Naj se proizvaja n testi in hkrati nek dogodek A prispelo je n A krat. številka n A se imenuje absolutna frekvenca(ali preprosto pogostost) dogodka A, relacija pa se imenuje relativna pogostost pojavljanja dogodka A. Relativna pogostost katerega koli dogodka značilen po naslednjih lastnostih:

Osnova za uporabo metod teorije verjetnosti pri preučevanju realnih procesov je objektivni obstoj naključnih dogodkov, ki imajo lastnost frekvenčne stabilnosti. Več poskusov dogodka, ki se proučuje A pokazati, da na prostosti n relativna frekvenca ( A) ostane približno konstantna.

Statistična definicija verjetnosti je, da je verjetnost dogodka A vzeta kot konstantna vrednost p(A), okoli katere nihajo vrednosti relativnih frekvenc (A) z neomejenim povečanjem števila testovn.

Opomba 1. Upoštevajte, da je meje spremembe verjetnosti naključnega dogodka od nič do ena izbral B. Pascal zaradi udobja izračuna in uporabe. V korespondenci s P. Fermatom je Pascal nakazal, da je mogoče kot označeni interval izbrati kateri koli interval, na primer od nič do sto in druge intervale. V spodnjih težavah v tem priročniku so verjetnosti včasih izražene v odstotkih, tj. od nič do sto. V tem primeru je treba odstotke, navedene v nalogah, pretvoriti v deleže, tj. deli s 100.

Primer 1. Izvedenih je bilo 10 serij metov kovancev, vsaka s 1000 meti. Magnituda ( A) v vsaki seriji je enako 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Te frekvence so združene okoli R(A) = 0,5.

Ta primer potrjuje, da je relativna frekvenca ( A) je približno enako R(A), tj.

Teorija verjetnosti – matematična veda, ki preučuje vzorce naključnih pojavov. Naključne pojave razumemo kot pojave z negotovim izidom, ki se pojavijo, ko se določen niz pogojev ponavlja.

Ko na primer vržete kovanec, ne morete predvideti, na kateri strani bo padel. Rezultat metanja kovanca je naključen. Toda pri dovolj velikem številu metov kovancev obstaja določen vzorec (grb in črta bosta izpadla približno enako število krat).

Osnovni pojmi teorije verjetnosti

Test (izkušnja, eksperiment) - izvajanje določenega niza pogojev, v katerih se opazuje ta ali oni pojav in se zabeleži ta ali oni rezultat.

Na primer: metanje kocke in pridobivanje števila točk; razlika v temperaturi zraka; način zdravljenja bolezni; neko obdobje človekovega življenja.

Naključni dogodek (ali samo dogodek) – rezultat testa.

Primeri naključnih dogodkov:

pridobitev ene točke pri metanju kocke;

poslabšanje koronarne srčne bolezni z močnim zvišanjem temperature zraka poleti;

razvoj zapletov bolezni zaradi napačne izbire metode zdravljenja;

sprejem na univerzo po uspešnem študiju v šoli.

Dogodki so označeni z velikimi črkami latinice: A , B , C , …

Dogodek se imenuje zanesljiv , če se mora zaradi testa nujno pojaviti.

Dogodek se imenuje nemogoče , če se zaradi testa sploh ne more pojaviti.

Na primer, če so vsi izdelki v seriji standardni, je ekstrakcija standardnega izdelka iz nje zanesljiv dogodek, ekstrakcija okvarjenega izdelka pod enakimi pogoji pa nemogoč dogodek.

KLASIČNA DEFINICIJA VERJETNOSTI

Verjetnost je eden od osnovnih konceptov teorije verjetnosti.

Klasična verjetnost dogodka se imenuje razmerje števila primerov, ugodnih za dogodek , na skupno število primerov, tj.

, (5.1)

Kje
- verjetnost dogodka ,

- število primerov, ki so ugodni za dogodek ,

- skupno število primerov.

Lastnosti verjetnosti dogodka

Verjetnost katerega koli dogodka je med nič in ena, tj.

Verjetnost zanesljivega dogodka je enaka ena, tj.

.

Verjetnost nemogočega dogodka je enaka nič, tj.

.

(Ponudite ustno rešitev več preprostih problemov).

STATISTIČNO DOLOČANJE VERJETNOSTI

V praksi ocenjevanje verjetnosti dogodkov pogosto temelji na tem, kako pogosto se bo določen dogodek pojavil v izvedenih testih. V tem primeru se uporablja statistična definicija verjetnosti.

Statistična verjetnost dogodka imenovana meja relativne frekvence (razmerje števila primerov m, ugodno za nastanek dogodka , na skupno število izvedenih testov), ​​ko se število testov nagiba k neskončnosti, tj.

Kje
- statistična verjetnost dogodka ,
- število poskusov, v katerih se je dogodek pojavil , - skupno število testov.

Za razliko od klasične verjetnosti je statistična verjetnost značilnost eksperimentalne verjetnosti. Klasična verjetnost služi teoretičnemu izračunu verjetnosti dogodka pod danimi pogoji in ne zahteva, da se testi izvajajo v resnici. Za eksperimentalno ugotavljanje verjetnosti dogodka se uporablja statistična verjetnostna formula, tj. domneva se, da so bili testi dejansko izvedeni.

Statistična verjetnost je približno enaka relativni frekvenci naključnega dogodka, zato se v praksi za statistično verjetnost vzame relativna frekvenca, ker statistične verjetnosti je praktično nemogoče najti.

Statistična definicija verjetnosti se uporablja za naključne dogodke, ki imajo naslednje lastnosti:

Verjetnostni izrek seštevanja in množenja

Osnovni pojmi

a) Edini možni dogodki

Dogodki
Imenujejo se edini možni, če se bo zaradi vsakega preizkusa zagotovo pojavil vsaj eden od njih.

Ti dogodki tvorijo popolno skupino dogodkov.

Na primer, pri metanju kocke so edini možni dogodki strani z eno, dvema, tremi, štirimi, petimi in šestimi točkami. Tvorijo popolno skupino dogodkov.

b) Dogodke imenujemo nekompatibilne, če pojav enega od njih izključuje pojav drugih dogodkov v istem poskusu. V nasprotnem primeru se imenujejo skupni.

c) Nasprotno poimenujte dva enolično možna dogodka, ki tvorita popolno skupino. Določite in .

G) Dogodke imenujemo neodvisni, če verjetnost pojava enega od njih ni odvisna od izvršitve ali neizpolnitve drugih.

Ukrepi na dogodkih

Vsota več dogodkov je dogodek, ki je sestavljen iz pojava vsaj enega od teh dogodkov.

če in – skupni dogodki, nato njihov seštevek
oz
označuje pojav dogodka A ali dogodka B ali obeh dogodkov skupaj.

če in – nezdružljivi dogodki, nato njihov seštevek
pomeni pojav ali dogodke , ali dogodki .

Znesek dogodki pomenijo:

Produkt (presek) več dogodkov je dogodek, sestavljen iz skupnega pojava vseh teh dogodkov.

Produkt dveh dogodkov je označen z
oz
.

delo dogodki predstavljajo

Izrek za seštevanje verjetnosti nekompatibilnih dogodkov

Verjetnost vsote dveh ali več nezdružljivih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov:

Za dva dogodka;

- Za dogodkov.

Posledice:

a) Vsota verjetnosti nasprotnih dogodkov in enako ena:

Verjetnost nasprotnega dogodka je označena z :
.

b) Vsota verjetnosti dogodkov, ki tvorijo popolno skupino dogodkov, je enako ena: oz
.

Izrek za seštevanje verjetnosti skupnih dogodkov

Verjetnost vsote dveh skupnih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov brez verjetnosti njunega presečišča, tj.

Teorem o množenju verjetnosti

a) Za dva neodvisna dogodka:

b) Za dva odvisna dogodka

Kje
– pogojna verjetnost dogodka , tj. verjetnost dogodka , izračunano pod pogojem, da dogodek zgodilo.

c) Za samostojni dogodki:

.

d) Verjetnost, da se zgodi vsaj eden od dogodkov , ki tvori popolno skupino neodvisnih dogodkov:

Pogojna verjetnost

Verjetnost dogodka , izračunano ob predpostavki, da se je dogodek zgodil , se imenuje pogojna verjetnost dogodka in je določen
oz
.

Pri izračunu pogojne verjetnosti z uporabo klasične verjetnostne formule število izidov in
izračunano ob upoštevanju dejstva, da preden se dogodek zgodi zgodil dogodek .

Osnovni pojmi. Izreki seštevanja in množenja.

Formule popolne verjetnosti, Bayes, Bernoulli. Laplaceovi izreki.

Vprašanja

1. Predmet teorije verjetnosti.
2. Vrste dogodkov.
3. Klasična definicija verjetnosti.
4. Statistična definicija verjetnosti.
5. Geometrijska definicija verjetnosti.
6. Izrek za seštevanje verjetnosti nekompatibilnih dogodkov.
7. Izrek za množenje verjetnosti neodvisnih dogodkov.
8. Pogojna verjetnost.
9. Množenje odvisnih dogodkov.
10. Dodatek skupnih dogodkov.
11. Formula skupne verjetnosti.
12. Bayesova formula.

13. Binomski, polinomski zakon porazdelitve.

1. Predmet teorije verjetnosti. Osnovni pojmi.

Dogodek v teoriji verjetnosti je vsako dejstvo, ki se lahko zgodi kot posledica neke izkušnje (test).

Na primer: Strelec strelja v tarčo. Strel je preizkus, zadeti tarčo je dogodek. Dogodki so običajno označeni

Posamezen naključni dogodek je posledica številnih naključnih vzrokov, ki jih pogosto ni mogoče upoštevati. Če pa upoštevamo množične homogene dogodke (opažene večkrat med poskusom pod enakimi pogoji), se izkaže, da so predmet določenih vzorcev: če vržete kovanec v enakih pogojih velikokrat, lahko napoveste z majhno napako, da bo število pojavitev grba enako polovici števila metov.

Predmet teorije verjetnosti je preučevanje verjetnostnih vzorcev množičnih homogenih naključnih dogodkov. Metode teorije verjetnosti se pogosto uporabljajo v teorijah zanesljivosti, streljanja, avtomatskega nadzora itd. Teorija verjetnosti služi kot osnova za matematično in uporabno statistiko, ki se uporablja pri načrtovanju in organizaciji proizvodnje, pri analizi tehnoloških procesov itd.

Definicije.

1. Če kot posledica izkušnje dogodek

a) se vedno zgodi, potem je to zanesljiv dogodek,

b) nikoli se ne bo zgodilo, potem - nemogoč dogodek,

c) lahko se zgodi, lahko se ne zgodi, potem je naključen (možen) dogodek.

2. Dogodki se imenujejo enako verjetni, če obstaja razlog za domnevo, da noben od teh dogodkov nima večje možnosti, da se zgodi zaradi izkušenj, kot drugi.

3. Dogodki in so skupni (nezdružljivi), če nastop enega od njih ne izključuje (izključuje) nastopa drugega.

4. Skupina dogodkov je kompatibilna, če sta vsaj dva dogodka iz te skupine kompatibilna, sicer je nekompatibilna.

5. Skupina dogodkov se imenuje popolna, če se bo eden od njih zagotovo zgodil kot posledica izkušnje.

Primer 1. V tarčo se izstrelijo trije streli: Let - zadeti (zgrešiti) pri prvem strelu - pri drugem strelu - pri tretjem strelu. Potem

a) - skupna skupina enako možnih dogodkov.

b) - popolna skupina nezdružljivih dogodkov. - dogodek, ki je nasproten.

c) - popolna skupina dogodkov.

Klasična in statistična verjetnost

Klasična metoda določanja verjetnosti se uporablja za celotno skupino enako možnih nekompatibilnih dogodkov.

Vsak dogodek v tej skupini se bo imenoval primer ali osnovni rezultat. Glede na vsak dogodek se primeri delijo na ugodne in neugodne.

Definicija 2. Verjetnost dogodka je količina

kjer je število primerov, ki so ugodni za pojav dogodka, je skupno število enako možnih primerov v danem poskusu.

Primer 2. Vrženi sta dve kocki. Naj bo dogodek - vsota padlih točk enak . Najti .

a) Napačna odločitev. Obstajata le 2 možna primera: in - popolna skupina nezdružljivih dogodkov. Samo en primer je ugoden, tj.

To je napaka, saj nista enako mogoča.

b) Skupaj enako možnih primerov. Ugodni primeri: prolaps

Slabosti klasične definicije so:

1. - število primerov je končno.

2. Rezultata eksperimenta zelo pogosto ni mogoče predstaviti v obliki niza elementarnih dogodkov (primerov).

3. Težko je navesti razloge za obravnavanje primerov kot enako možnih.

Naj se izvede vrsta testov.

Definicija 3. Relativna pogostost dogodka je količina

kjer je število poskusov, v katerih so se pojavili dogodki, in je skupno število poskusov.

Dolgoročna opazovanja so pokazala, da v različnih poskusih pri dovolj veliki

Spreminja se malo, niha okoli neke konstantne številke, ki jo imenujemo statistična verjetnost.

Verjetnost ima naslednje lastnosti:

Algebra dogodkov

7.3.1 Definicije.

8. Seštevek ali zveza več dogodkov je dogodek, ki ga sestavlja vsaj eden od njih.

9. Produkt več dogodkov je dogodek, ki je sestavljen iz skupnega pojava vseh teh dogodkov.

Iz primera 1. - najmanj en zadetek s tremi streli, - zadetek s prvim in drugim strelom ter zgrešen s tretjim.

Točno en zadetek.

Vsaj dva zadetka.

10. Dva dogodka se imenujeta neodvisna (odvisna), če verjetnost enega od njiju ni odvisna (odvisna) od pojava ali ne-pojavitve drugega.

11. Več dogodkov imenujemo kolektivno neodvisni, če so vsak od njih in katera koli linearna kombinacija preostalih dogodkov neodvisni dogodki.

12. Pogojna verjetnost je verjetnost dogodka, izračunana ob predpostavki, da se je dogodek zgodil.

7.3.2 Izrek verjetnostnega množenja.

Verjetnost skupnega pojava (proizvodnje) več dogodkov je enaka zmnožku verjetnosti enega od njih s pogojnimi verjetnostmi preostalih dogodkov, izračunanimi ob predpostavki, da so se zgodili vsi prejšnji dogodki.

Posledica 1.Če - so skupaj neodvisni, potem

Dejansko: od.

Primer 3. V žari je 5 belih, 4 črne in 3 modre kroglice. Vsak test je sestavljen iz naključnega žrebanja ene kroglice iz žare. Kolikšna je verjetnost, da se bo pri prvem poskusu pojavila bela kroglica, pri drugem črna kroglica, pri tretjem modra kroglica, če

a) vsakič, ko se žoga vrne v žaro.

- v žari po prvem preizkusu žog so 4 bele. . Od tod

b) žoga se ne vrne v žaro. Potem - neodvisno v agregatu in

7.3.3 Verjetnostni adicijski izrek.

Verjetnost, da se zgodi vsaj eden od dogodkov, je enaka

Posledica 2.Če sta dogodka parno nezdružljiva, potem

V tem primeru res

Primer 4. Na eno tarčo se izstrelijo trije streli. Verjetnost zadetka pri prvem strelu je , pri drugem - , pri tretjem - . Poiščite verjetnost vsaj enega zadetka.

rešitev. Naj bo zadetek na prvem strelu, na drugem, na tretjem in vsaj en zadetek na treh strelih. Potem , kje so skupni neodvisni v agregatu. Potem

Posledica 3.Če po paru nekompatibilni dogodki tvorijo popolno skupino, potem

Posledica 4. Za nasprotne dogodke

Včasih je pri reševanju problemov lažje ugotoviti verjetnost nasprotnega dogodka. Na primer, v primeru 4 - zgrešena s tremi streli. Od neodvisnega v agregatu, nato pa