Un cas d'interférence très important se produit lorsque des ondes planes d'égale amplitude se superposent. Le processus oscillatoire qui en résulte est appelé onde stationnaire.

Des ondes presque stationnaires se forment lorsque les ondes sont réfléchies par des obstacles. Une vague tombant sur un obstacle et une onde réfléchie courant vers lui, se superposant l'une à l'autre, donnent une onde stationnaire.

Considérons le résultat de l'interférence de deux ondes planes sinusoïdales de même amplitude se propageant dans des directions opposées.

Pour simplifier le raisonnement, supposons que les deux ondes provoquent des oscillations dans la même phase à l'origine.

Les équations de ces oscillations ont la forme :

En additionnant les deux équations et en transformant le résultat, en utilisant la formule de la somme des sinus, nous obtenons :

- équation des ondes stationnaires.

En comparant cette équation avec l'équation des oscillations harmoniques, on voit que l'amplitude des oscillations résultantes est égale à :

Depuis , et , alors .

Aux points du milieu où il n'y a pas de vibrations, c'est-à-dire . Ces points sont appelés nœuds d'ondes stationnaires.

Aux points où , l'amplitude des oscillations a la plus grande valeur, égale à . Ces points sont appelés ventres d'ondes stationnaires. Les coordonnées des ventres sont trouvées à partir de la condition, puisque , Que .

D'ici:

De même, les coordonnées des nœuds sont trouvées à partir de la condition :

Où:

Des formules pour les coordonnées des nœuds et des ventres, il s'ensuit que la distance entre les ventres adjacents, ainsi que les distances entre les nœuds adjacents, est égale à . Les ventres et les nœuds sont décalés les uns par rapport aux autres d'un quart de la longueur d'onde.

Comparons la nature des oscillations d'une onde stationnaire et progressive. Dans une onde progressive, chaque point subit des oscillations dont l'amplitude ne diffère pas de l'amplitude des autres points. Mais des oscillations de divers points se produisent avec différentes phases.

Dans une onde stationnaire, toutes les particules du milieu situées entre deux nœuds voisins oscillent dans la même phase, mais avec des amplitudes différentes. Lors du passage par un nœud, la phase d'oscillation change brusquement de , car le signe change.

Graphiquement, une onde stationnaire peut être représentée comme suit :

A l'instant où , tous les points du milieu ont des déplacements maximaux dont la direction est déterminée par le signe de . Ces déplacements sont représentés sur la figure par des flèches pleines.

Après un quart de période, lorsque , les déplacements de tous les points sont égaux à zéro. Les particules traversent la ligne à des vitesses différentes.

Après un autre quart de période, lorsque , les particules auront à nouveau des déplacements maximaux, mais dans le sens opposé (flèches en pointillés).

Lors de la description des processus oscillatoires dans les systèmes élastiques, non seulement le déplacement, mais aussi la vitesse des particules, ainsi que la déformation relative du milieu peuvent être considérés comme une grandeur oscillante.

Pour trouver la loi de changement de vitesse d'une onde stationnaire, on différencie par l'équation de déplacement d'une onde stationnaire, et pour trouver la loi de changement de déformation, on différencie par l'équation d'une onde stationnaire.

En analysant ces équations, on voit que les nœuds et ventres de la vitesse coïncident avec les nœuds et ventres du déplacement ; les nœuds et ventres de la déformation coïncident respectivement avec les ventres et nœuds de la vitesse et du déplacement.

Vibrations des cordes

Dans une corde tendue fixée aux deux extrémités, lorsque des vibrations transversales sont excitées, des ondes stationnaires s'établissent et des nœuds doivent être localisés aux endroits où la corde est fixée. Par conséquent, seules de telles vibrations sont excitées dans la corde, dont la moitié de la longueur s'adapte un nombre entier de fois sur la longueur de la corde.

Cela implique la condition suivante :

où est la longueur de la chaîne.

Ou sinon. Ces longueurs d'onde correspondent aux fréquences, où est la vitesse de phase de l'onde. Son ampleur est déterminée par la force de tension de la corde et sa masse.

À - fréquence fondamentale.

À - fréquences naturelles de vibrations de la corde ou harmoniques.

effet Doppler

Considérons les cas les plus simples où la source des ondes et l'observateur se déplacent par rapport au milieu le long d'une même ligne droite :

1. La source sonore se déplace par rapport au support à une vitesse , le récepteur sonore est au repos.

Dans ce cas, pendant la période d'oscillation, l'onde sonore s'éloignera de la source et la source elle-même se déplacera à une distance égale à .

Si la source est retirée du récepteur, c'est-à-dire se déplacer dans la direction opposée à la direction de propagation des ondes, puis la longueur d'onde .

Si la source sonore est rapprochée du récepteur, c'est-à-dire se déplacer dans la direction de propagation des ondes, alors .

La fréquence sonore perçue par le récepteur est :

Remplaçons leurs valeurs dans les deux cas :

Compte tenu du fait que , où est la fréquence d'oscillation de la source, l'égalité prendra la forme:

Divisons à la fois le numérateur et le dénominateur de cette fraction par , alors :

2. La source sonore est stationnaire et le récepteur se déplace à une certaine vitesse par rapport au support.

Dans ce cas, la longueur d'onde dans le milieu ne change pas et reste égale. Dans le même temps, deux amplitudes successives qui diffèrent dans le temps d'une période d'oscillation, ayant atteint le récepteur en mouvement, différeront dans le temps au moment où l'onde rencontre le récepteur pendant un laps de temps dont la valeur est plus ou moins selon que le récepteur s'éloigne ou s'approche de la source sonore. Au fil du temps, le son parcourt une distance et le récepteur se déplace sur une certaine distance. La somme de ces quantités nous donne la longueur d'onde :

La période des oscillations perçues par le récepteur est liée à la fréquence de ces oscillations par le rapport :

En remplaçant l'expression de l'égalité (1), nous obtenons :

Parce que , où est la fréquence d'oscillation de la source, et , alors :

3. La source et le récepteur du son se déplacent par rapport au support. En combinant les résultats obtenus dans les deux cas précédents, on obtient :

Les ondes sonores

Si les ondes élastiques se propageant dans l'air ont une fréquence allant de 20 à 20 000 Hz, alors lorsqu'elles atteignent l'oreille humaine, elles provoquent une sensation sonore. Par conséquent, les ondes situées dans cette gamme de fréquences sont appelées sons. Les ondes élastiques d'une fréquence inférieure à 20 Hz sont appelées infrason . Les ondes d'une fréquence supérieure à 20 000 Hz sont appelées ultrason. L’oreille humaine ne peut pas entendre les ultrasons et les infrasons.

Les sensations sonores sont caractérisées par la hauteur, le timbre et le volume. La hauteur du son est déterminée par la fréquence des vibrations. Cependant, la source sonore n’émet pas une seule, mais tout un spectre de fréquences. L'ensemble des fréquences de vibration présentes dans un son donné est appelé son spectre acoustique. L'énergie vibratoire est répartie sur toutes les fréquences du spectre acoustique. La hauteur d'un son est déterminée par une seule fréquence - la fréquence principale, si cette fréquence représente une quantité d'énergie nettement supérieure à la part des autres fréquences.

Si le spectre est constitué de plusieurs fréquences situées dans la gamme de fréquences de à , alors un tel spectre est appelé solide(exemple - bruit).

Si le spectre est constitué d'un ensemble d'oscillations de fréquences discrètes, alors un tel spectre est appelé gouverné(exemple - sons musicaux).

Le spectre acoustique du son, selon sa nature et la répartition de l'énergie entre les fréquences, détermine l'originalité de la sensation sonore, appelée timbre du son. Différents instruments de musique ont des spectres acoustiques différents, c'est-à-dire diffèrent par le timbre sonore.

L'intensité du son est caractérisée par diverses grandeurs : vibrations des particules du milieu, leurs vitesses, forces de pression, contraintes dans celles-ci, etc.

Elle caractérise l'amplitude des oscillations de chacune de ces grandeurs. Cependant, ces grandeurs étant liées entre elles, il est conseillé d’introduire une seule caractéristique énergétique. Cette caractéristique pour les vagues de tout type a été proposée en 1877. SUR LE. Oumovov.

Découpons mentalement une plate-forme à l'avant de la vague progressive. Au fil du temps, cette zone se déplacera d'une distance correspondant à la vitesse des vagues.

Désignons par l'énergie d'une unité de volume du milieu oscillant. L’énergie de tout le volume sera alors égale.

Cette énergie a été transférée au fil du temps par une vague se propageant dans la zone.

En divisant cette expression par et , on obtient l'énergie transférée par l'onde à travers une unité de surface par unité de temps. Cette quantité est désignée par une lettre et s'appelle Vecteur Umov

Pour le champ sonore vecteur Umov s'appelle la force du son.

L'intensité sonore est une caractéristique physique de l'intensité sonore. Nous l'évaluons subjectivement, comme volume son. L'oreille humaine perçoit les sons dont la force dépasse une certaine valeur minimale, différente selon les fréquences. Cette valeur est appelée seuil d'audition son. Pour des fréquences moyennes de l'ordre du Hz, le seuil d'audition est de l'ordre de .

D'une intensité sonore très élevée, le son est perçu par les organes du toucher autres que l'oreille, et provoque des douleurs au niveau des oreilles.

La valeur d'intensité à laquelle cela se produit est appelée seuil de la douleur. Le seuil de douleur, ainsi que le seuil d'audition, dépendent de la fréquence.

L'homme possède un appareil assez complexe pour percevoir les sons. Les vibrations sonores sont captées par le pavillon de l'oreille et agissent sur le tympan par le conduit auditif. Ses vibrations sont transmises à une petite cavité appelée la cochlée. À l’intérieur de la cochlée se trouvent un grand nombre de fibres ayant des longueurs et des tensions différentes et, par conséquent, des fréquences naturelles de vibration différentes. Lorsqu'elle est exposée au son, chacune des fibres résonne avec une tonalité dont la fréquence coïncide avec la fréquence naturelle de la fibre. L'ensemble des fréquences de résonance de l'aide auditive détermine la zone de vibrations sonores que nous percevons.

Le volume évalué subjectivement par nos oreilles augmente beaucoup plus lentement que l'intensité des ondes sonores. Alors que l’intensité augmente de façon exponentielle, le volume augmente arithmétiquement. Sur cette base, le niveau de volume est déterminé comme le logarithme du rapport entre l'intensité d'un son donné et l'intensité prise comme original.

L'unité de niveau sonore est appelée blanc. Des unités plus petites sont également utilisées - décibels(10 fois moins que le blanc).

où est le coefficient d'absorption acoustique.

La valeur du coefficient d'absorption acoustique augmente proportionnellement au carré de la fréquence sonore, de sorte que les sons faibles voyagent plus loin que les sons aigus.

Dans l'acoustique architecturale des grandes pièces, un rôle important est joué par réverbération ou des salles d'écho. Les sons, soumis à de multiples réflexions sur les surfaces environnantes, sont perçus par l'auditeur sur une période de temps assez longue. Cela augmente la force du son qui nous parvient, mais si la réverbération est trop longue, les sons individuels se chevauchent et la parole n'est plus clairement perçue. C’est pourquoi les murs des halls sont recouverts de matériaux spéciaux insonorisants pour réduire la réverbération.

La source des vibrations sonores peut être n'importe quel corps vibrant : une langue de cloche, un diapason, une corde de violon, une colonne d'air dans des instruments à vent, etc. ces mêmes corps peuvent également servir de récepteurs sonores lorsqu'ils se déplacent sous l'influence des vibrations environnementales.

Ultrason

Pour devenir directionnel, c'est-à-dire proche d'une onde plate, les dimensions de l'émetteur doivent être plusieurs fois supérieures à la longueur d'onde. Les ondes sonores dans l'air ont une longueur allant jusqu'à 15 m ; dans les corps liquides et solides, la longueur d'onde est encore plus longue. Par conséquent, il est pratiquement impossible de construire un radiateur qui créerait une onde dirigée d'une telle longueur.

Les vibrations ultrasoniques ont une fréquence supérieure à 20 000 Hz, leur longueur d'onde est donc très courte. À mesure que la longueur d'onde diminue, le rôle de la diffraction dans le processus de propagation des ondes diminue également. Par conséquent, des ondes ultrasonores peuvent être produites sous la forme de faisceaux dirigés, similaires aux faisceaux lumineux.

Deux phénomènes sont utilisés pour exciter les ondes ultrasonores : effet piézoélectrique inversé Et magnétostriction.

L'effet piézoélectrique inverse est que la plaque de certains cristaux (sel de Rochelle, quartz, titanate de baryum, etc.) se déforme légèrement sous l'influence d'un champ électrique. En le plaçant entre des plaques métalliques auxquelles une tension alternative est appliquée, des vibrations forcées de la plaque peuvent être provoquées. Ces vibrations sont transmises à l'environnement et y génèrent une onde ultrasonore.

La magnétostriction signifie que les substances ferromagnétiques (fer, nickel, leurs alliages, etc.) se déforment sous l'influence d'un champ magnétique. Ainsi, en plaçant une tige ferromagnétique dans un champ magnétique alternatif, des vibrations mécaniques peuvent être excitées.

Des valeurs élevées de vitesses et d'accélérations acoustiques, ainsi que des méthodes bien développées pour étudier et recevoir des vibrations ultrasonores, ont permis de les utiliser pour résoudre de nombreux problèmes techniques. Citons-en quelques-uns.

En 1928, le scientifique soviétique S.Ya. Sokolov a proposé d'utiliser les ultrasons à des fins de détection de défauts, c'est-à-dire pour détecter les défauts internes cachés tels que les cavités, les fissures, les jeux, les inclusions de scories, etc. dans les produits métalliques. Si la taille du défaut dépasse la longueur d'onde des ultrasons, l'impulsion ultrasonore est réfléchie par le défaut et revient. En envoyant des impulsions ultrasonores dans un produit et en enregistrant les signaux d'écho réfléchis, il est possible non seulement de détecter la présence de défauts dans les produits, mais également de juger de la taille et de l'emplacement de ces défauts. Actuellement, cette méthode est largement utilisée dans l’industrie.

Les faisceaux ultrasoniques directionnels ont trouvé de nombreuses applications à des fins de localisation, c'est-à-dire pour détecter des objets dans l'eau et déterminer la distance qui les sépare. L'idée de la localisation par ultrasons a été proposée pour la première fois par un physicien français exceptionnel P. Langevin et a été développé par lui pendant la Première Guerre mondiale pour détecter les sous-marins. Actuellement, les principes du sonar sont utilisés pour détecter les icebergs, les bancs de poissons, etc. Ces méthodes permettent également de déterminer la profondeur de la mer sous le fond du navire (échosondeur).

Les ondes ultrasonores de haute amplitude sont actuellement largement utilisées dans la technologie du traitement mécanique des matériaux solides, du nettoyage de petits objets (pièces d'horlogerie, canalisations, etc.) placés dans un liquide, du dégazage, etc.

Créant de fortes pulsations de pression dans le milieu lors de leur passage, les ondes ultrasonores provoquent un certain nombre de phénomènes spécifiques : broyage (dispersion) de particules en suspension dans un liquide, formation d'émulsions, accélération des processus de diffusion, activation de réactions chimiques, effets sur les objets biologiques. , etc.

Si plusieurs ondes se propagent simultanément dans un milieu, alors les vibrations des particules du milieu s'avèrent être la somme géométrique des vibrations que feraient les particules si chacune des ondes se propageait séparément. Cette affirmation issue de l'expérience s'appelle le principe de superposition (superposition) des vagues.

Dans le cas où les oscillations provoquées par des ondes individuelles en chaque point du milieu ont une différence de phase constante, les ondes sont appelées cohérent. Lorsque des ondes cohérentes sont ajoutées, le phénomène d'interférence apparaît, qui consiste dans le fait que les oscillations en certains points se renforcent et en d'autres points s'affaiblissent. Un cas d’interférence très important est observé lorsque deux ondes planes contra-propagatives de même amplitude se superposent. Le processus oscillatoire qui en résulte est appelé onde stationnaire.

onde stationnaire est une onde formée par la superposition de deux ondes de même amplitude et fréquence, lorsque les ondes se rapprochent.

Des ondes presque stationnaires se forment lorsque les ondes sont réfléchies par des obstacles. Une vague tombant sur un obstacle et une onde réfléchie courant vers lui, se superposant l'une à l'autre, donnent une onde stationnaire.

Écrivons les équations de deux ondes planes se propageant le long de l'axe X dans des directions opposées :

En additionnant ces équations et en transformant le résultat à l'aide de la formule de la somme des cosinus, on obtient :

Pour simplifier cette équation, on choisit l'origine X de sorte que la différence devient égale à zéro, et le point de départ t- pour que la somme soit égale à zéro. Alors

- équation des ondes stationnaires.

Remplacement du numéro d'onde À sa valeur, on obtient l'équation d'onde stationnaire, pratique pour analyser les oscillations de particules dans une onde stationnaire :

.

De cette équation, il est clair qu'en chaque point d'une onde stationnaire, les oscillations se produisent à la même fréquence que celles des ondes contra-propagatives, et l'amplitude des oscillations dépend de X:

.

Aux points dont les coordonnées satisfont à la condition

,

l'amplitude des oscillations atteint sa valeur maximale. Ces points sont appelés ventres onde stationnaire. Les valeurs des coordonnées des ventres sont :

.

Aux points dont les coordonnées satisfont à la condition :

,

l'amplitude des oscillations devient nulle. Ces points sont appelés nœuds onde stationnaire. Les points du milieu situés aux nœuds n'oscillent pas. Les coordonnées des nœuds ont les valeurs suivantes :

.

De ces formules, il s'ensuit que la distance entre les ventres adjacents, ainsi que la distance entre les nœuds adjacents, est égale à . Les ventres et les nœuds sont décalés les uns par rapport aux autres d'un quart de la longueur d'onde.

La figure montre un graphique des écarts des points par rapport à la position d'équilibre à un instant donné t(courbe pleine) et un graphique des écarts ponctuels pour un moment donné (courbe pointillée). Comme le montre la figure, les points situés sur les côtés opposés du nœud oscillent en antiphase. Tous les points situés entre deux nœuds adjacents oscillent en phase (c'est-à-dire dans la même phase).

Une onde stationnaire ne transfère pas d'énergie. Deux fois au cours d'une période, l'énergie d'une onde stationnaire est convertie soit entièrement en potentiel, concentré principalement près des nœuds de l'onde, soit complètement en cinétique, concentrée principalement près des ventres de l'onde. En conséquence, l’énergie est transférée de chaque nœud vers les ventres voisins et vice-versa. Le flux d’énergie moyenné dans le temps dans n’importe quelle section de la vague est nul.

Un cas particulier d'interférence est vagues stationnaires- ce sont des ondes formées par la superposition de deux ondes progressives, se propageant l'une vers l'autre avec les mêmes fréquences et amplitudes, et dans le cas des ondes transversales, la même polarisation.

Pour dériver l’équation des ondes stationnaires, nous supposons que deux ondes planes se propagent l’une vers l’autre le long de l’axe X dans un milieu sans atténuation, et les deux ondes sont caractérisées par les mêmes amplitudes et fréquences. De plus, nous choisirons l'origine des coordonnées au point où les deux ondes ont la même phase initiale, et nous commencerons à compter le temps à partir du moment où les phases initiales des deux ondes sont égales à zéro. Alors, en conséquence, les équations d'une onde se propageant dans la direction positive de l'axe X, et les ondes se propageant vers lui auront la forme

En ajoutant ces équations et en tenant compte de cela k =2v /X (voir(154.3)), on obtient l'équation debout vagues:

De l'équation des ondes stationnaires (157.2), il s'ensuit qu'en chaque point de cette onde se produisent des oscillations de même fréquence w avec amplitude UN St =| 2UN parce que (2px/l)|, en fonction de la coordonnée X le point en question.

Aux points de l'environnement où

l'amplitude des oscillations atteint une valeur maximale de 2 UN. Aux points de l'environnement où

l'amplitude des oscillations devient nulle. Points auxquels l'amplitude des oscillations est maximale ( UN St = 2UN), sont appelés ventres d'ondes stationnaires, et les points auxquels l'amplitude d'oscillation est nulle ( UN st =0), sont appelés nœuds d'ondes stationnaires. Les points du milieu situés aux nœuds n'oscillent pas.

A partir des expressions (157.3) et (157.4) on obtient respectivement coordonnées des ventres et des nœuds :

(157.5)

(157.6)

Des formules (157.5) et (157.6), il s'ensuit que les distances entre deux ventres adjacents et deux nœuds adjacents sont les mêmes et égales je/2. La distance entre les ventres adjacents et un nœud d'onde stationnaire est égale à je/4.

Contrairement à une onde progressive, dont tous les points oscillent avec la même amplitude, nez décalage de phase(dans l'équation (157.1) d'une onde progressive, la phase des oscillations dépend de la coordonnée X point considéré), tous les points d'une onde stationnaire entre deux nœuds oscillent avec des amplitudes différentes, nez phases identiques(dans l'équation (157.2) d'une onde stationnaire, l'argument cosinus ne dépend pas de X). Lors du passage par un nœud, le multiplicateur est de 2 UN cos(2 px/l) change de signe, donc la phase des oscillations sur les côtés opposés du nœud diffère de p, c'est-à-dire que les points situés sur les côtés opposés du nœud vibrent en antiphase.

La formation d'ondes stationnaires est observée lors de l'interférence des ondes progressives et réfléchies. Par exemple, si l’extrémité d’une corde est fixée immobile, alors l’onde réfléchie à l’endroit où la corde est fixée interférera avec la vague qui se déplace et formera une onde stationnaire. Dans ce cas, un nœud apparaît à la limite où l’onde est réfléchie. La présence d'un nœud ou d'un ventre à la limite de réflexion dépend du rapport des densités du milieu. Si le milieu à partir duquel se produit la réflexion est moins dense, alors un ventre apparaît à l'endroit de la réflexion (Fig. 222, UN), s'il est plus dense - un nœud (Fig. 222, b). La formation d'un nœud est due au fait que l'onde, réfléchie par un milieu plus dense, change de phase pour passer à la phase opposée et qu'à la limite se produit l'ajout d'oscillations avec des phases opposées, ce qui donne naissance à un nœud. Si l'onde est réfléchie par un milieu moins dense, alors la phase ne change pas et à la frontière les oscillations s'additionnent avec les mêmes phases - un ventre se forme.

Si nous considérons une onde progressive, alors l'énergie du mouvement vibratoire est transférée dans la direction de sa propagation. Dans le cas d'une onde stationnaire pas de transfert d'énergie puisque les ondes incidentes et réfléchies de même amplitude transportent la même énergie dans des directions opposées. Par conséquent, l’énergie totale de l’onde stationnaire résultante, confinée entre les points nodaux, reste constante. Ce n'est qu'à des distances égales à la moitié de la longueur d'onde que se produisent des transformations mutuelles de l'énergie cinétique en énergie potentielle et vice versa.

Les ondes stationnaires se forment à la suite de l’interférence de deux ondes planes se propageant de manière contrariante de même fréquence ω et d’amplitude A.

Imaginons qu'au point S (Fig. 7.4) se trouve un vibrateur à partir duquel une onde plane se propage le long du faisceau SO. Ayant atteint l'obstacle au point O, l'onde sera réfléchie et ira dans la direction opposée, c'est-à-dire Deux ondes planes se propagent le long du faisceau : vers l’avant et vers l’arrière. Ces deux ondes sont cohérentes, puisqu’elles sont générées par la même source et, superposées l’une à l’autre, vont interférer l’une avec l’autre.

L’état oscillatoire du milieu résultant d’une interférence est appelé onde stationnaire.

Écrivons l’équation des ondes progressives vers l’avant et vers l’arrière :

droit - ; inverse -

où S 1 et S 2 sont le déplacement d'un point arbitraire sur le rayon SO. Compte tenu de la formule du sinus de la somme, le déplacement résultant est égal à

Ainsi, l’équation des ondes stationnaires a la forme

(7.17)

Le multiplicateur de coût montre que tous les points du milieu sur le faisceau SO effectuent des oscillations harmoniques simples avec une fréquence. L'expression s'appelle l'amplitude de l'onde stationnaire. Comme vous pouvez le voir, l'amplitude est déterminée par la position du point sur le rayon SO (x).

Valeur maximum les amplitudes auront des points pour lesquels

Ou (n = 0, 1, 2,….)

d'où, ou (7.18)

ventres d'ondes stationnaires .

Valeur minimum, égal à zéro, aura les points pour lesquels

Ou (n = 0, 1, 2,….)

d'où ou (7.19)

Les points ayant de telles coordonnées sont appelés nœuds d'ondes stationnaires . En comparant les expressions (7.18) et (7.19), on voit que la distance entre ventres voisins et nœuds voisins est égale à λ/2.

Sur la figure, la ligne continue montre le déplacement des points oscillants du milieu à un certain instant, la courbe en pointillés montre la position des mêmes points jusqu'à T/2. Chaque point oscille avec une amplitude déterminée par sa distance au vibrateur (x).

Contrairement à une onde progressive, aucun transfert d’énergie ne se produit dans une onde stationnaire. L'énergie passe simplement du potentiel (au déplacement maximum des points du milieu par rapport à la position d'équilibre) au cinétique (lorsque les points passent par la position d'équilibre) dans les limites entre les nœuds qui restent immobiles.

Tous les points d'une onde stationnaire dans les limites entre les nœuds oscillent dans la même phase et sur les côtés opposés du nœud - en antiphase.

Les ondes stationnaires apparaissent, par exemple, dans une corde tendue fixée aux deux extrémités lorsque des vibrations transversales y sont excitées. De plus, aux endroits de fixation, il y a des nœuds d'onde stationnaire.

Si une onde stationnaire s’établit dans une colonne d’air ouverte à une extrémité (onde sonore), alors un ventre se forme à l’extrémité ouverte et un nœud se forme à l’extrémité opposée.

Les ondes stationnaires se forment à la suite de l’interférence de deux ondes planes se propageant de manière contrariante de même fréquence ω et d’amplitude A.

Imaginons qu'au point S (Fig. 7.4) se trouve un vibrateur à partir duquel une onde plane se propage le long du faisceau SO. Ayant atteint l'obstacle au point O, l'onde sera réfléchie et ira dans la direction opposée, c'est-à-dire Deux ondes planes se propagent le long du faisceau : vers l’avant et vers l’arrière. Ces deux ondes sont cohérentes, puisqu'elles sont générées par la même source et, superposées l'une à l'autre, vont interférer l'une avec l'autre.

L’état oscillatoire du milieu résultant d’une interférence est appelé onde stationnaire.

Écrivons l’équation des ondes progressives vers l’avant et vers l’arrière :

droit -
;inverse -

où S 1 et S 2 sont le déplacement d'un point arbitraire sur le rayon SO. Compte tenu de la formule du sinus de la somme, le déplacement résultant est égal à

Ainsi, l’équation des ondes stationnaires a la forme

(7.17)

Le multiplicateur de coût montre que tous les points du milieu sur le faisceau SO effectuent des oscillations harmoniques simples avec une fréquence
. Expression
est appelée l’amplitude de l’onde stationnaire. Comme vous pouvez le voir, l'amplitude est déterminée par la position du point sur le rayon SO (x).

Valeur maximum les amplitudes auront des points pour lesquels

ou
(n = 0, 1, 2,….)

où
, ou
(7.18)

ventres d'ondes stationnaires .

Valeur minimum, égal à zéro, aura les points pour lesquels

ou
(n = 0, 1, 2,….)

où
ou
(7.19)

Les points ayant de telles coordonnées sont appelés nœuds d'ondes stationnaires . En comparant les expressions (7.18) et (7.19), on voit que la distance entre ventres voisins et nœuds voisins est égale à λ/2.

N Sur la figure, la ligne continue montre le déplacement des points oscillants du milieu à un certain instant, la courbe en pointillés montre la position des mêmes points jusqu'à T/2. Chaque point oscille avec une amplitude déterminée par sa distance au vibrateur (x).

Contrairement à une onde progressive, aucun transfert d’énergie ne se produit dans une onde stationnaire. L'énergie passe simplement du potentiel (au déplacement maximum des points du milieu par rapport à la position d'équilibre) au cinétique (lorsque les points passent par la position d'équilibre) dans les limites entre les nœuds qui restent immobiles.

Tous les points d'une onde stationnaire dans les limites entre les nœuds oscillent dans la même phase et sur les côtés opposés du nœud - en antiphase.

Les ondes stationnaires apparaissent, par exemple, dans une corde tendue fixée aux deux extrémités lorsque des vibrations transversales y sont excitées. De plus, aux endroits de fixation, il y a des nœuds d'onde stationnaire.

Si une onde stationnaire s’établit dans une colonne d’air ouverte à une extrémité (onde sonore), alors un ventre se forme à l’extrémité ouverte et un nœud se forme à l’extrémité opposée.

Exemples de résolution de problèmes

Exemple . Déterminez la vitesse de propagation du son dans l'eau si la longueur d'onde est de 2 m et la fréquence d'oscillation de la source est ν = 725 Hz. Déterminez également la plus petite distance entre les points du milieu qui oscillent dans la même phase.

Donné : λ=2m; v = 725 Hz.

Trouver : υ; X.

Solution . La longueur d'onde est égale à la distance sur laquelle une certaine phase de l'onde se propage pendant la période T, c'est-à-dire

,

où υ – vitesse des vagues ; ν - fréquence d'oscillation.

Puis la vitesse requise

La longueur d'onde est la distance entre les particules les plus proches du milieu oscillant dans la même phase. Par conséquent, la distance minimale requise entre les points du milieu oscillant dans la même phase est égale à la longueur d'onde, c'est-à-dire

Répondre: = 1450 m/s ; x=2m.

Exemple . Déterminer combien de fois la longueur de l'onde ultrasonore changera lorsqu'elle passe du cuivre à l'acier, si la vitesse de propagation des ultrasons dans le cuivre et l'acier est respectivement égale à υ 1 = 3,6 km/s et υ 2 = 5,5 km/s .

Donné : υ 1 =3,6 km/s=3,6∙10 3 m/s. et υ 2 =5,5 km/s =5,5∙10 3 m/s.

Trouver :.

Solution . Lorsque les ondes se propagent, la fréquence d'oscillation ne change pas lorsqu'elles passent d'un milieu à un autre (cela dépend uniquement des propriétés de la source d'ondes), c'est-à-dire ν 1 = ν 2 = ν.

Relation entre longueur d'onde et fréquence ν :

, (1)

où υ est la vitesse des vagues.

La relation requise, selon (1),

.

En calculant, on obtient
(augmenter de 1,53 fois).

Répondre :

Exemple . Une extrémité de la tige élastique est reliée à une source de vibrations harmoniques obéissant à la loi
, et l'autre extrémité est fixée rigidement. Considérant que la réflexion à l'endroit où est fixée la tige se produit à partir d'un milieu plus dense, déterminez : 1) l'équation d'une onde stationnaire ; 2) coordonnées du nœud ; 3) coordonnées des ventres.

Donné :
.

Trouver : 1) ξ (x, t); 2) x et ; 3) xn.

Solution . Équation de vague incidente

, (1)

où A est l'amplitude de l'onde ; ω - fréquence cyclique ; υ - vitesse des vagues.

Selon les conditions du problème, la réflexion à l'endroit où la tige est fixée se produit à partir d'un milieu plus dense, donc l'onde change de phase pour la phase opposée, et l'équation de l'onde réfléchie est

En ajoutant les équations (1) et (2), nous obtenons l'équation des ondes stationnaires

(pris en compte
; λ = υT).

Aux points de l'environnement où

(m=0, 1, 2,….) (3)

L'amplitude des oscillations disparaît (des nœuds sont observés) aux points du milieu où

(m=0, 1, 2,….) (4)

L'amplitude des oscillations atteint une valeur maximale de 2A (des ventres sont observés). On retrouve les coordonnées requises des nœuds et ventres à partir des expressions (3) et (4) :

coordonnées du nœud
(m=0, 1, 2,….);

coordonnées du ventre
(m=0, 1, 2,….).

Répondre : 1)
;
(m=0, 1, 2,….);
(m=0, 1, 2,….).

Exemple . La distance entre les nœuds adjacents d'une onde stationnaire créée par un diapason dans l'air est ℓ = 42 cm. En prenant la vitesse du son dans l'air υ = 332 m/s, déterminez la fréquence d'oscillation ν du diapason.

Donné : ℓ =42 cm = 0,42 m ; = 332 m/s.

Trouver : ν.

Solution . Dans une onde stationnaire, la distance entre deux nœuds adjacents est . Par conséquent, ℓ= , d'où la longueur d'onde mobile

Relation entre longueur d'onde et fréquence
. En remplaçant la valeur (1) dans cette formule, nous obtenons la fréquence de vibration du diapason souhaitée.

.

Répondre : v=395 Hz.

Exemple . Un tuyau d'une longueur de ℓ = 50 cm est rempli d'air et ouvert à une extrémité. En prenant la vitesse υ du son égale à 340 m/s, déterminez à quelle fréquence la plus basse une onde sonore stationnaire apparaîtra dans le tuyau. En prenant la vitesse du son dans l'air υ = 332 m/s, déterminez la fréquence d'oscillation ν du diapason.

Donné : ℓ =50 cm = 0,5 m ; = 340 m/s.

Trouver : ν 0 .

Solution. La fréquence sera minimale à condition que la longueur d'onde stationnaire soit maximale.

Dans un tuyau ouvert à une extrémité, il y aura un ventre sur la partie ouverte (réflexion d'un milieu moins dense), et sur la partie fermée il y aura un nœud (réflexion d'un milieu plus dense). Par conséquent, un quart de la longueur d’onde rentrera dans le tuyau :

Considérant que la longueur d'onde
, nous pouvons écrire

,

D'où vient la fréquence la plus basse requise ?

.

Répondre : ν 0 =170 Hz.

Exemple . Deux trains électriques se rapprochent à grande vitesseυ 1 = 20 m/s et υ 2 = 10 m/s. Le premier train siffle dont la hauteur correspond à la fréquence ν 0 = 600 Hz. Déterminez la fréquence perçue par le deuxième passager avant et après le croisement des trains. La vitesse du son est prise égale à υ=332 m/s.

Donné : υ 1 =20 m/s; υ 2 = 10 m/s ; ν 0 = 600 Hz ; = 332 m/s.

Trouver: ν ; ν".

Solution. Selon la formule générale décrivant l'effet Doppler en acoustique, la fréquence du son perçu par un récepteur en mouvement est

, (1)

où ν 0 est la fréquence sonore envoyée par la source ; υ pr - vitesse de déplacement du récepteur ; υ source - vitesse de la source. Si la source et le récepteur se rapprochent, alors le signe supérieur est pris, s'ils s'éloignent, le signe inférieur est pris.

D'après la notation donnée dans le problème (υ pr =υ 2 et υ ist =υ 1) et les explications données ci-dessus, à partir de la formule (1) les fréquences souhaitées perçues par le passager du deuxième train :

Avant le croisement des trains (les trains électriques se rapprochent) :

;

Après le croisement des trains (les trains s'éloignent les uns des autres) :

Répondre: v = 658 Hz ; ν" =549 Hz.